求方程y”+3y’+2y=e^(-x)的通解

y”+3y’+2y=e^(-x)
它的齐次方程是
y''+3y'+2y=0
这个常微分方程的特征方程是
r²+3r+2=0
特征根为r=-1,r=-2
所以齐次方程的通解为
y=(C1)e^(-x)+(C2)e^(-2x)

易求得原微分方程的一个特解为
y*=xe^(-x)
所以，原微分方程的通解为：y=(C1)e^(-x)+(C2)e^(-2x)+xe^(-x)

y”+3y’+2y=e^(-x)
它的齐次方程是
y''+3y'+2y=0
这个齐次方程的特征方程是
r²+3r+2=0
特征根为r=-1,r=-2
所以齐次方程的通解为
y=(C1)e^(-x)+(C2)e^(-2x)

a=-1是特征根,故已知方程有形如
y1=Axe^(-x)
的特解.将它代入原方程得
-Ae^(-x)-Ae^(-x)+Axe^(-x)+3(Ae^(-x)-Axe^(-x))+2Axe^(-x)=e^(-x)
从而A=1,故y1=xe^(-x),由此得通解
y=(C1)e^(-x)+(C2)e^(-2x)+xe^(-x)